Análise comparativa do modelo de viga de Euler-Bernoulli e de Timoshenko através do método das diferenças finitas

Abstract

Na Engenharia Civil a viga é um dos elementos estruturais mais estudados, sendo que as duas principais teorias que explicam seus movimentos são: Teoria de Euler- Bernoulli e a Teoria de Timoshenko. A principal diferença entre as teorias é a consideração das deformações por cisalhamento abordada pela teoria de Timoshenko. Sabe-se que, atualmente, o rigor exigido na solução de fenômenos físicos implica necessariamente na agilidade e viabilidade de obtenção de uma solução, com isso as técnicas numéricas são uma boa ferramenta para tal objetivo. Logo, neste trabalho foi aplicado o Método das Diferenças Finitas, o qual é uma solução numérica, nas equações diferenciais resultantes das teorias da viga. Com isso, foi desenvolvido um algoritmo que tenha como resultado a linha elástica da viga, tanto de Timoshenko, como a de Euler Bernoulli. Os resultados gerados pelos algoritmos do MDF foram comparados e validados com soluções analíticas, de forma a medir a convergência dessas soluções. Além disso, foi comparado os valores da deflexão da viga de ambas as teorias, analisando parâmetros como relação de vão e altura, carregamento e módulo de elasticidade da viga. Como resultados, encontrou- se uma maior divergência entre o modelo de Euler-Bernoulli e Timoshenko para vigas com baixa razão entre vão e a altura, devido aos efeitos de cisalhamento. Os fatores carregamento e módulo de elasticidade não tornaram a atuação do cisalhamento mais expressiva.

The Beam is one of the most studied structural elements in Civil Engineering, and the main theories that explain their movements are: Theory of Euler-Bernoulli and Theory of Timoshenko. The main difference between these theories is the shear deformation considered by the Theory of Timoshenko. It is known that, now a days, the rigorous requirement of the solution of physical phenomena necessarily implies the agility and viability for obtaining a solution, thereby the numerical techniques are a good tool for reaching this goal. In this study, a numerical method called Finite Difference Method (FDM) was applied to the beam deflection differential equations. Therewith, it was developed an algorithm which the results are the elastic line of the beam, for Timoshenko and for Euler-Bernoulli. The results generated by the FDM algorithm were compared and validated with analytical solution, in order to measure the convergence of these solutions. The values of beam deflections obtained by the both theories were compared, and parameters such as length-height ratio, the load and the elasticity of the beam were analyzed. It was observed that a greater divergence between the model of Euler-Bernoulli and Timoshenko occurred when a low length- height beam ratio was analyzed, due to shear effects. Changing other factors, such as loads and modulus of elasticity, didn’t make the shear effect more expressive on the deflection values.